Porous Media 在運輸中運用物理信息深度學習

仿真在科學和工程的各個領域都很普遍，但它們往往受到計算時間長、計算資源有限、繁瑣的手動設置工作以及對技術專業知識需求的限制 NVIDIA SimNet 是一個模擬工具箱，它將人工智能和物理結合起來解決這些挑戰。

SimNet 應用的一個成功例子是在多孔介質中的流動和傳輸建模。這項努力是由斯坦福大學的博士生 Cedric Frances 領導的。

用例研究

Cedric 正在研究利用物理信息神經網絡（ PINNs ）進行無網格油藏模擬的適用性和局限性。他對多孔介質中的流動和輸運問題（質量守恒和達西流）非常感興趣。 Cedric 的應用程序是一個基于 Python 的油藏模擬器，它可以計算多孔介質中各種流體的壓力和濃度，并進行通常會影響大型工業能源項目的預測。這包括生產碳氫化合物、儲存二氧化碳、水處理、空氣儲存、廢物管理等等。

研究人員以前試圖使用 PINNs 方法來捕捉一個具有非凸通量項的雙曲問題（ Riemann 問題）的正解，除了初始條件和邊界條件之外沒有其他數據。不幸的是，這些嘗試是 unsuccessful 。

在試用 SimNet 之前， Cedric 使用 Python 和 TensorFlow 和 Keras 等深度學習框架開發了自己的 pinn 實現。他使用了各種網絡結構，如殘差、 GAN 、周期激活、 CNN 、 PDE 網絡等。然而，很難實現所有這些目標，以找出哪一個效果最好或根本不起作用。 GitHub 上開源代碼的出現使得測試這些實現變得很容易。每一個新的實現都涉及到很高的開銷，比如環境設置、硬件配置、修改代碼來測試自己的問題等等，這些都是不高效的。

Cedric 希望有一個由專業軟件開發人員團隊維護的良好、統一的框架來解決問題，使他能夠專注于問題的物理性，并廣泛測試最近發布的方法。當他偶然發現 SimNet 時，他對這樣一個框架的探索就結束了。

塞德里克下載了 SimNet 并開始使用具有 tanh 激活函數和損失函數空間加權的全連接網絡。他發現 SimNet 的通用框架（包含多種體系結構和文檔豐富的示例）是一個很好的起點。它能夠模擬具有劇烈沖擊的解決方案，引入熵和速度等新的動態約束，為他節省了數周的開發時間。更重要的是，它提供了測試方法的快速轉變，以確定它們的有用性。

本文提出的問題是多孔介質中兩相不可壓縮、不互溶的位移問題。這也被稱為運輸問題，多年來以各種形式加以描述。半個多世紀以來，它一直應用于油藏注水開發中的水驅油問題。最近，它被應用于 CO 驅鹽水₂在碳封存應用中。有關詳細信息，請參閱砂土流體驅替機理和注氣過程理論。

假設潤濕相（ w ）正在取代非潤濕相（ n ）。潤濕性是一種流體與被另一種流體包圍的固體接觸的傾向性；例如，與空氣相比，水在大多數表面是濕潤的。質量守恒適用于兩相。對于濕潤階段：

$\phi \frac{\partial S_w}{\partial t} + \nabla q_w = 0$ (1)

在這個公式中， $\phi$ 是孔隙度， $\ S_w$ 是潤濕相的飽和度（或濃度），是非潤濕相的飽和度。潤濕相的流速 $\ q_w$ 可寫為：

$q_w = - \frac{kk_{rw}(S_w)}{\mu_w}\nabla p$ (2)

在這個公式中， $\ k$ 是絕對滲透率，它量化了材料允許液體或氣體流過的傾向性。 $\ k_{rw}(S_w)$ 是潤濕相的相對滲透率，它是飽和度的函數，表征給定相在存在或不存在時的有效滲透率。一個階段優先通過它已經存在的路徑。想象一下，一滴水從窗戶滴落下來，沿著現有的小徑流下。

你可以算出潤濕相的相通量 $\ q_w$ 作為總通量的函數 $q = q_w+q_n$ 使用簡單的均勻化規則：

$q = -k\left[\frac{k_{rw}(S_w)}{\mu_w} + \frac{k_{rn}(S_n)}{\mu_n}\right]\nabla p$ (3)

你可以把這個方程改寫成總通量的函數。由此產生分流：

$f_w = \frac{q_w}{q} = \frac{1}{1+\frac{k_{rn}\mu_w}{k_{rw}\mu_n}}$ (4)

守恒方程現在可以寫成：

$\frac{\partial S_w}{\partial t} + \frac{q}{\phi}\nabla f_w = 0$ (5)

對于一維情況，假設總通量等于每個時間步注入的一個孔隙體積 ( $\ q = \phi$ ) ，可以得到：

$\frac{\partial S_w}{\partial t} + \frac{\partial f(S_w)}{\partial x} = 0$ (6)

在這個公式中，分數流是一個非線性方程，定義如下：

$f_w(S) = \frac{(S - S_{wc})^2}{(S - S_{wc})^2 + (1 - S - S_{nr})^2/M}$ (7)

在這個公式中， $S_{wc}$ and $S_{nr}$ 潤濕和非潤濕的殘余（不可還原）飽和度是由捕集機制和 $M$ 是終點流動率，定義為兩相的終點相對滲透率和粘度之比。我們使用 Corey 和 Brooks 相對滲透率關系。有關詳細信息，請參閱多孔介質的水力特性。

這里解的偏微分方程是一階雙曲型的，分數流項是非凸的。它屬于黎曼守恒問題的一類，通常用有限體積法求解。有關詳細信息，請參閱雙曲守恒律組與沖擊波的數學理論。

在均勻 Dirichlet 邊界條件下：

$S(x=0,t) = S_{inj}$ (8)

$S(x,t=0) = S_{wc}$ (9)

你可以應用特征線法（ MOC ）來建立這個方程的解析解。為了使 MOC 或任何有限體積法保持保守，必須修改圖 1 所示的分數流項。

*圖 1 .對于 Swc = Sor = 0 的情況，分數流量曲線（藍色）和 Welge 結構（黑色虛線）。來源：* 多孔介質流動和輸運的物理基礎

到目前為止，還沒有其他已知的方法使用抽樣方法來解決這樣的問題，因此這仍然是一個懸而未決的問題。 Fuks 和 Tchelepi 先前的一次嘗試得出結論，物理信息方法不適合所描述的問題（圖 2 ）。

*圖 2 .根據雙曲問題的弱形式，使用 PINN 方法（紅色虛線）計算的飽和推斷結果。使用 MOC 的對照溶液用藍色標繪。資料來源：* 多孔介質流動和輸運的物理基礎

*圖 3 .在速度約束和熵條件下，使用 PINN （紅色虛線）和 MOC （藍色虛線）進行飽和度推斷的結果。采用分數流量曲線的凸殼來模擬位移。資料來源：* 多孔介質流動和輸運的物理基礎

塞德里克關于這個主題的研究已經發表了：多孔介質流動和輸運的物理基礎。

重要的理論里程碑正在簡單而富有挑戰性的一維例子中實現。 Cedric 計劃將他的研究擴展到更大的維度（ 2D 和 3D ），在這里，代碼的可伸縮性和在更大陣列上的輕松部署將受到考驗。他預計會遇到類似的問題，并期待著 SimNet 從 2D 到 3D 帶來的好處。

塞德里克詳細闡述了他在 SimNet 的經歷。” SimNet 清晰的 API 、干凈且易于導航的代碼、使用 Docker 容器良好處理的環境和硬件配置、可擴展性、易部署性以及稱職的支持團隊使其易于采用，并提供了一些非常有前景的結果。到目前為止，這非常好，我們期待著在更大維度的問題上使用 SimNet 。”

要查看 GTC ‘ 21 會話，請參閱基于物理信息的多孔介質流動與輸運神經網絡。有關功能和下載工具包的更多信息，請參見 NVIDIA 模擬網絡型。